Def :
Si \(z=a+ib\), le conjugué de \(z\) est : $$\bar z=a-ib$$
(\(\bar z\) est le symétrique de \(z\) par rapport à l'axe des abscisses)
On a :
$$\forall z,z'\in\Bbb C, \overline{z+z'}=\bar z+\bar z'$$$\(\forall z,\in\Bbb C,\overline{\bar z}=z\)$$\(\forall z,z'\in\Bbb C,\overline{zz'}=\bar z \times \bar z'\)$$\(\forall z\in\Bbb C,z=\bar z\iff z\in\Bbb R\)$$\(\forall z\in\Bbb C,|z|^2=z\times \bar z\)$
Inégalité triangulaire sur \(\Bbb C\) : $$\forall z,z'\in\Bbb C,|z+z'|\leqslant|z|+|z'|$$
(Inégalité triangulaire)démonstration :
\(\forall z,z'\in\Bbb C,\)
$$|z+z'|^2=(z+z')\overline{(z+z')}$$$\(=(z+z')(\bar z+\bar z')\)$$\(=|z|^2+|z'|^2+z\bar z'+\bar zz'\)$$\(=|z|^2+|z'|^2+2\Re(z'\bar z)\)$$\(\leqslant (|z|+|z'|)^2\)$
Remarques sur le conjugué :
- Si \(z=\rho e^{j\theta}\), alors \(z^*={{\rho e^{-j\theta} }}\)
- \({{z+z^*}}={{2\rho\cos\theta}}\)
- \({{z-z^*}}={{2\rho\sin\theta}}\)
- \({{zz^*}}={{\rho^2}}\)
- \({{\frac z{z^*} }}={{e^{2j\theta} }}\)
